Contents

Семинар

Задачи

Задача 1

Пусть модель

\(y_i \in \{0, 1\}\)

\(y_i^* = \beta_0 + \beta_1x_i + u_i\)

\(u_i \sim \mathrm{logit}\)

оценивается на четырёх наблюдениях:

\(y = [0, 1, 1, 0],\)

\(x = [20, 20, 30, 30].\)

[а] Выпишите функцию правдоподобия и опишите алгоритм нахождения \(\hat{\beta}_0\) и \(\hat{\beta}_1\).

[б] Найдите \(\hat{\mathrm{Var}}(\hat{\beta})\).

Задача 2

Исследователь Василий оценил логистическую регрессию на \(n = 10^7\) наблюдениях. Оказалось, что оценённая модель выглядит следующим образом:

\(\hat{p}(y_i = 1) = \Lambda(2.3 - 1.7x_i + 2.5z_i).\)

Василий также получил оценку ковариационной матрицы оценок коэффициентов:

\(\hat{\mathrm{Var}}(\hat{\beta}) = \hat{I}^{-1} = \begin{pmatrix}2.56 & 0.3 & -0.2 \\ 0.3 & 1.69 & 0.1 \\ -0.2 & 0.1 & 1.44\end{pmatrix}\)

[а] Проверьте гипотезу

\[ H_0: \beta_x = 0 \]

против

\[ H_A: \beta_x \ne 0 \]

на уровне значимости \(5\%\) при помощи теста \(W\).

[б] Проверьте гипотезу

\[\begin{split} H_0: \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{split}\]

против

\[\begin{split} H_A: \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_z \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{split}\]

на уровне значимости \(5\%\) при помощи теста \(W\).

[в] Проверьте гипотезу

\[ H_0: \beta_x + \beta_z = 1 \]

против

\[ H_A: \beta_x + \beta_z \ne 1 \]

на уровне значимости \(5\%\) при помощи теста \(W\).

[г] Найдите предельный эффект роста \(x_i\) на вероятность \(p(y_i = 1)\) в точке \(x_i = -0.5\), \(z_i = 2\).

Задача 3

Как известно, кленовый пекан бывает вкусным \(h_i = 1\) и невкусным \(h_i = 0\), а покемоны бывают ядовитыми \(v_i = 1\) и неядовитыми \(v_i = 0\). Отважный исследователь Степан составил следующую таблицу сопряжённости:

  • \(h_i = 1\), \(v_i = 1\) : \(n = 12\).

  • \(h_i = 0\), \(v_i = 1\) : \(n = 32\).

  • \(h_i = 1\), \(v_i = 0\) : \(n = 36\).

  • \(h_i = 0\), \(v_i = 0\) : \(n = 20\).

Степан использует логистическую регрессию \(p(v_i = 1) = \Lambda(\beta_0 + \beta_1h_i)\) для прогнозирования ядовитости покемонов.

[а] Найдите \(\hat{\beta}_0\) и \(\hat{\beta}_1\).

[б] Найдите \(\hat{p}(v_i = 1)\). Можно ли рассчитать эту величину без получения оценок коэффициентов?

Семинар