Семинар¶
Задачи¶
Задача 1: Мегаматрица
Правила работы с многомерными случайными величинами (\(y\), \(z\) – случайные векторы, \(A\), \(B\) – матрицы констант, считаем, что все размеры подходящие):
\(E(Ay) = AE(y)\).
\(\mathrm{Var}(Ay) = A\mathrm{Var}(y)A'\).
\(\mathrm{Var}(y + z) = \mathrm{Var}(y) + \mathrm{Var}(z) + \mathrm{cov}(y, z) + \mathrm{cov}(z, y)\).
\(\mathrm{cov}(Ay, Bz) = A\mathrm{cov}(y, z)B'\).
Рассмотрим линейную модель \(y = X\beta + u\), оцениваемую при помощи МНК. Пусть число наблюдений равно \(n\), число регрессоров, равно \(k + 1\). Предположим, что выполнены все предпосылки теоремы Гаусса-Маркова.
Заполните матрицу, приведённую ниже. По строкам и столбцам этой матрицы находятся \(y\), \(\hat{y}\), \(\hat{\beta}\), \(\hat{u} = y - \hat{y}\), \(u\), в ячейках стоят всевозможные ковариации и дисперсии этих величин. Отдельной строкой рассчитайте математические ожидания \(y\), \(\hat{y}\), \(\hat{\beta}\), \(\hat{u} = y - \hat{y}\), \(u\). Для каждого элемента укажите размеры.
\(Var(\cdot)\) |
\(y\) |
\(\hat{y}\) |
\(\hat{\beta}\) |
\(\hat{u}\) |
\(u\) |
|---|---|---|---|---|---|
\(y\) |
|||||
\(\hat{y}\) |
|||||
\(\hat{\beta}\) |
|||||
\(\hat{u}\) |
|||||
\(u\) |
|||||
\(E(\cdot)\) |