Семинар¶
Задачи¶
Задача 1: Тестирование гипотез в множественной регрессии
Линейная регрессионная модель задаётся в следующем виде:
\(y_i = \beta_0 + \beta_1x_{1, i} + \beta_2x_{2, i} + u_i\)
Предположим, что \(u \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2I)\). Известно, что
\( X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix},\text{ } y = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}, \text{ } (X'X)^{-1} = \begin{pmatrix} 1/3 & -1/3 & 0 \\ -1/3 & 4/3 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix} \)
[a] Найдите \(\hat{\beta_0}\), \(\hat{\beta_1}\), \(\hat{\beta_2}\).
[б] Найдите \(\hat{y}\).
[в] Найдите TSS, ESS, RSS и \(R^2\).
[г] Найдите \(\hat{\sigma}\).
[д] Найдите \(\widehat{Var}(\hat{\beta})\).
[е] Здесь и далее все гипотезы проверяются на уровне значимости 5%. Проверьте гипотезу \(H_0\) против \(H_1\), если
\( \begin{cases} H_0: \beta_1 = 1, \\ H_1: \beta_1 \ne 1. \end{cases} \)
[ё] Проверьте гипотезу \(H_0\) против \(H_1\), если
\( \begin{cases} H_0: \beta_1 = 1, \\ H_1: \beta_1 > 1. \end{cases} \)
[ж] Проверьте регрессию на значимость в целом.
[з] Проверьте гипотезу
\( \begin{cases} H_0: \beta_1 = \beta_2, \\ H_1: \beta_1 \ne \beta_2. \end{cases} \)
[и] Постройте \(95\%\)-ый доверительный интервал для \(\beta_1\).
[й] Пусть \(x_{1, 6} = 10\), \(x_{2, 6} = 7\). Найдите \(\hat{y}_6\).
[к] Постройте \(95\%\)-ый доверительный интервал для \(E(y_6 | X_6)\).
[л] Постройте \(95\%\)-ый предиктивный интервал для \(y_6 | X_6\).