Contents

Семинар

Задачи

Задача 1

Рассмотрим выборку \(X_1\), \(\ldots\), \(X_{50}\) из экспоненциального распределения с параметром \(\lambda\). Оказалось, что \(\bar{X} = 1.5\). Проверьте гипотезу

\[\begin{split} \begin{cases} H_0: \lambda = 1, \\ H_A: \lambda \ne 1 \end{cases} \end{split}\]

на уровне значимости 5% при помощи тестов \(LR\), \(LM\) и \(W\).

Задача 2

Рассмотрим выборку \(X_1\), \(\ldots\), \(X_{100}\) из нормального распределения с параметрами \(\mu\) и \(\sigma^2\). Оказалось, что \(\sum_{i = 1}^{100} X_i = 20\), \(\sum_{i = 1}^{100} (X_i - \bar{X})^{2} = 400\). Проверьте гипотезу

\[\begin{split} \begin{cases} H_0: \begin{pmatrix} \mu \\ \sigma \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ H_A: \begin{pmatrix} \mu \\ \sigma \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{cases} \end{split}\]

на уровне значимости 5% при помощи тестов \(LR\), \(LM\) и \(W\).

Задача 3: Палочки и волшебники (ДЗ1 – 2020)

Дамблдор уверен, что среди первокурсников встречаются только обладатели палочек из вишни, дуба и вяза. Воспользовавшись своими способностями в легилименции на пиру в честь начала нового учебного года, Дамблдор узнаёт, что из \(150\) первокурсников \(75\) имеют палочки из вишни, \(30\) – из дуба и \(45\) – из вяза. Дамблдор считает, что палочки выбирают волшебников независимо друг от друга, и вероятность того, что у волшебника окажется вишнёвая палочка, равна \(p_1\), а что дубовая, равна \(p_2\).

А) Обозначим \(p = \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}\). Найдите \(\hat{p}_{ML}\).

Б) Проверьте гипотезу

\[ H_0: p_1 = 0.7 \]

против

\[ H_A: p_1 \ne 0.7 \]

на уровне значимости \(5\%\) при помощи тестов \(LR\) и \(LM\).

В) Проверьте гипотезу

\[\begin{split} H_0: \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.4 \\ 0.6 \end{pmatrix} \end{split}\]

против

\[\begin{split} H_A: \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0.4 \\ 0.6 \end{pmatrix} \end{split}\]

на уровне значимости \(5\%\) при помощи теста \(W\).

Г) Постройте \(95\%\)-ый доверительный интервал для \(p_1 - p_2\).

Лекция Коллекция задач