Коллекция задач

Задача 1

Рассмотрим \(AR-1\) модель:

\[ y_t = a_1 + a_2y_t + \varepsilon_t. \]

Предположим, что \(\varepsilon_{t, i}\) и \(\varepsilon_{t, j}\) независимы для любых \(i\), \(j\), \(\varepsilon_t \sim \mathcal{N}(0, 1)\). Также известно, что

\[ \sum_{t = 1}^{99} y_t = 100 \]
\[ y_{100} = 2 \]
\[ \sum_{t = 1}^{99} y_ty_{t-1} = 80 \]
\[ \sum_{t = 1}^{99} y_t^2 = 400 \]

  1. Зависимы ли \(y_t\) и \(y_{t-1}\)?

  2. Найдите условное распределение \(y_t | y_{t-1}\).

  3. Найдите \(\hat{a}_1^{ML}\), \(\hat{a}_2^{ML}\).

  4. Проверьте гипотезу об одновременном равенстве коэффициентов \(a_1\) и \(a_2\) нулю против гипотезы о неравенстве на уровне значимости 5% при помощи \(LR\)-теста.

Задача 2: Модель для зелий (ДЗ1 – 2020)

Полумна хочет построить предсказательную модель, которая бы описывала зависимость популярности зелья \(y_i\) от силы его положительного влияния \(x_i\). Обе величины являются количественными непрерывными переменными на \(\mathbb{R}\). Предположим, что Полумна знает, как измерить популярность и силу влияния и верит, что искомая зависимость имеет следующий вид:

\[ y_i = \beta_1 e^{\beta_2 x_i}u_i, \]

где \(\beta_1\) и \(\beta_2\) – неизвестные коэффициенты, не равные нулю, \(u_i \) – случайная ошибка, причём \(\ln u_i \sim \mathcal{N}(0,1)\).

А) Является ли данная зависимость линейной по \(\beta_1\)? А по \(\beta_2\)?

Б) Найдите \(\hat{\beta}_1\) и \(\hat{\beta}_2\) методом максимального правдоподобия.

В) Симулируйте \(300\) наблюдений \((x_i, y_i)\) таким образом, что \(x_i \sim \mathcal{N}(0, 1)\), \(y_i = 3e^{x_i}u_i\), \(\ln u_i \sim \mathcal{N}(0, 1)\).

Г) По полученным данным найдите \(\hat{\beta}_1\) и \(\hat{\beta}_2\) в числах.

Д) Проверьте гипотезу

\[\begin{split} H_0: \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{split}\]

против

\[\begin{split} H_A: \begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} \end{split}\]

на уровне значимости \(5\%\) при помощи теста \(LR\).

Семинар Задачи к квизу