Вариация 1
Задача 1
Рассмотрим логарифм правдоподобия
\[\ell = 3\ln a + \ln b - 2a - 2b - 4\]
a. Найдите \(\hat{a}_{ML}\), \(\hat{b}_{ML}\).
b. Проверьте гипотезу
\[\begin{split}
\begin{cases}
H_0: \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\
H_A: \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
\end{cases}
\end{split}\]
при помощи теста Вальда на уровне значимости 5%.
Задача 2
Рассмотрим логарифм правдоподобия
\[\ell = \ln 2a + 4\ln b - a - 2b + 2\]
a. Найдите \(\hat{a}_{ML}\), \(\hat{b}_{ML}\).
b. Проверьте гипотезу
\[\begin{split}
\begin{cases}
H_0: \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\
H_A: \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
\end{cases}
\end{split}\]
при помощи теста \(LR\) на уровне значимости 5%.
Задача 3
Рассмотрим логарифм правдоподобия
\[\ell = 4\ln 2a + 3\ln b - 2a - 12b - 8\]
a. Найдите \(\hat{a}_{ML}\), \(\hat{b}_{ML}\).
b. Проверьте гипотезу
\[\begin{split}
\begin{cases}
H_0: \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \\
H_A: \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}
\end{cases}
\end{split}\]
при помощи теста \(LM\) на уровне значимости 5%.
Вариация 2
Задача 1
Рассмотрим логарифм правдоподобия
\[\ell = 3\ln a + \ln b - 2a - 2b - 4\]
a. Найдите \(\hat{a}_{ML}\), \(\hat{b}_{ML}\).
b. Проверьте гипотезу
\[\begin{split}
\begin{cases}
H_0: a = 2b \\
H_A: a \ne 2b
\end{cases}
\end{split}\]
при помощи теста Вальда на уровне значимости 5%.
Задача 2
Рассмотрим логарифм правдоподобия
\[\ell = \ln 2a + 4\ln b - a - 2b + 2\]
a. Найдите \(\hat{a}_{ML}\), \(\hat{b}_{ML}\).
b. Проверьте гипотезу
\[\begin{split}
\begin{cases}
H_0: a = 2b \\
H_A: a \ne 2b
\end{cases}
\end{split}\]
при помощи теста \(LR\) на уровне значимости 5%.
Задача 3
Рассмотрим логарифм правдоподобия
\[\ell = 4\ln 2a + 3\ln b - 2a - 12b - 8\]
a. Найдите \(\hat{a}_{ML}\), \(\hat{b}_{ML}\).
b. Проверьте гипотезу
\[\begin{split}
\begin{cases}
H_0: a = 2b \\
H_A: a \ne 2b
\end{cases}
\end{split}\]
при помощи теста \(LM\) на уровне значимости 5%.
