Семинар¶
Задачи¶
Задача 1
Рассмотрим выборку независимых одинаково распределённых случайных величин \(Y_1\), \(Y_2\), \(Y_3\). Известно, что \(Y_i\) может принимать всего три значения: \(2\) с вероятностью \(3a\), \(4\) с вероятностью \(1-5a\), \(6\) с вероятностью \(2a\), где \(a\) – неизвестный параметр. Оказалось, что \(Y_1 = 6\),\(Y_2 = 4\), \(Y_3 = 6\).
[а] Найдите \(\hat{a}_{ML}\).
[б] Постройте функцию правдоподобия и её логафрим на одном графике. Покажите \(\hat{a}_{ML}\).
Задача 2
Пусть \(X_1\), \(\ldots\), \(X_N\) – выборка независимых одинаково распределённых величин из нормального распределения \(\mathcal{N}(\mu, \sigma^2)\).
[а] Найдите \(\hat{\mu}_{ML}\), \(\hat{\sigma^2}_{ML}\).
[б] Докажите, что \(\hat{\mu}_{ML}\), \(\hat{\sigma^2}_{ML}\) – это точка максимума функции правдоподобия.
Задача 3
Пусть верно условие задачи 2. Покажите, что \(\hat{\sigma^2}_{ML}\) является состоятельной оценкой \(\hat{\sigma^2}\).
Задача 4
Пусть верно условие задачи 2.
[а] Найдите теоретическую информацию Фишера.
[б] Найдите оценку информации Фишера.
[в] Пусть \(\hat{\sigma^2}_{ML} = 10\), а \(N = 100\). Найдите \(\hat{\mathrm{Var}}({\hat{\mu}})\).
[г] Пусть \(\hat{mu}_{ML} = 40\). Постройте \(95%\)-ый доверительный интервал для \(\mu\).
Задача 5
Рассмотрим выборку независимых одинаково распределённых случайных величин \(X_1\), \(X_2\), \(\ldots\), \(X_{50}\) из экспоненциального распределения. Оказалось, что \(\bar{X} = 1.5\).
[а] Найдите \(\hat{\lambda}_{ML}\).
[б] Постройте 95%-ый доверительный интервал для \(\lambda\).